Informatyka UJ forum

r4ku

mam kilka pytań:
czy wzór greena był wykorzystywany na zajęciach do jakichś praktycznych obliczeń?

jak liczyc pola powierzchni przy pomocy całek podwójnych? (algorytm,wzór?)
prosiłbym o proste wskazówki:)

Madras

Ja się już psychicznie szykuję na poprawkę.
--
Sorry za OT.

hansu

Rogal

Jak się dobrać do całki z zadania 8.1 (b) z zadań Leszkowych?

hansu

Od tylca :P

Liczysz najpierw sqrt(1 + [x'(t)]^2 + [y'(t)]^2) i to o ile pamietam wychodzi 1. No i potem liczysz

[calka od 0 do 1] y * e^-x * sqrt(1 + [x'(t)]^2 + [y'(t)]^2) dt podstawiajac za tego y i x te rownania i pamietajac ze e^ln(czegos) = to cos.

EDIT:

Nie wiedzialem gdzie to wrzucic wiec pisze tu. Na wazniaku w zadaniu 11.1 jest blad w granicy calkowania, powinno byc 0 do 2x a nie 0 do x jak jest teraz... Nie wiem czy ta informacja sie komus przyda, ale moze oszczedzic sporo czasu na rozgryzanie "co mam zle?"

Stasiu

a propos pola i calek podwojnych:

Oblicz pole figury ograniczonej krzywa:
(x^2 + y^2)^2 = 2a^2(x^2 - y^2) <- lemniskata

jakbyscie sie za to wzieli?

hansu

Podstawiamy wspolrzedne biegunowe:

x = r cos f
y = r sin f

wtedy rownanie ma postac:

r^4 = 2 a^2 r^2 (cos^2(f) - sin^2(f))

Po uproszczeniu i zastosowaniu tozsamosci trygonometrycznej cos^2(f) - sin^2(f) = cos(2f):

r = a * sqrt(2cos2f))

Czyli szukane pole to bedzie:

[calka od 0 do 2pi] df [calka od 0 do a*sqrt(2cos2f))] r (<- jakobian!) dr
a to sie juz ladnie zredukuje do calki z cos2f.

Fidel

hansu jak zawsze nic nie umie :D

hansu

@Fidel: Dobra, juz nic wiecej nie powiem :P

Yoter

wie ktoś czym się różni całka krzywoliniowa 1. rodzaju od c.k. 2 rodzaju? do czego stosuje się pierwszą a do czego drugą?

kap00ch

ogolem I rodzaju masz wtedy jak jest po ds , a drugiego rodzaju jak masz wydzielone co jest po dx a co po dy ;]

Yoter

fajnie tylko co się liczy z jednej a co z drugiej? :)

hansu

Calka krzywoliniowa 1 rodzaju ma w "ciele" wyrazenie
sqrt([x'(t)]^2 + [y'(t)]^2)
a drugiego rodzaju tylko
x'(t)

Ta drugiego rodzaju stosuje sie do obliczania pol, a to pierwszego rodzaju do gnebienia studentow zadaniami typu "sztuka dla sztuki" :]

@Fidel: wybacz, nie moglem sie powstrzymac :P

Yoter

czyli całką 2. rodzaju możemy obliczyć to pole pod lemniskata parę linijek wyżej? jeśli tak, to jak? :D

kap00ch

no daloby sie jakbys znal parametryzacje tego czegos ;p ewentualnie sparametryzowal na chamca...ale skoro to jest rownanie lemniskaty to sie da latwo sparametryzowac;p zaraz poszukam jak to powinno wygladac...chociaz pewno hansu bedzie pierwszy;p

hansu

Primo to nie jest pole pod lemniskata, tylko pole WEWNATRZ lemniskaty. Po drugie wzor na to pole to:

P = - [calka po krzywej k]y dx = [calka po krzywej k]x dy = [calka po krzywej k](1/2 x dy - 1/2 y dx)

Wiec jak latwo zauwazyc potrzebowalibysmy jakichs fajnych wzorkow na zaleznosc x(t) i y(t) wiec trzeba by ta lemnistkate jakos rozwiklac. Pewnie daloby sie to jakos zrobic, albo nie wiem, zamienic na biegunowe i tez z calki krzywoliniowej jakos to pliczyc, ale nie mam pojecia jak :/

EDIT:

Hehe, widze ze mamy z kap00chem spora redundancje :]

kap00ch

ad primo - ch^%$ z tym ze te jest wewnatrz...inaczej mowiac 4x to co jest pod lemniskata w I cwiartce...

secundo: prosze

x = -a sinh t * cosh t
y = +- a sinh t sqrt(1 - (sinht)^2)

wiec walimy calke tak jak hansu mowil jadac pi/4 0 i mamy...ale liczyc tego gowna po sinh i cosh nie planuje ;p

a liczyc tego nie zamierzam...;p

Yoter

aha dzięki :D

kap00ch

dobrze ze to leszek jest autorem tych zadan :DDDDD <vide hansu i jeko wyskok w pt:P> a nie ty Yoter ;p

Rogal

eee, można wolniej?

Z tego co napisaliście to całka krzywoliniowa drugiego rodzaju to normalna całka, tj. jak ją rozwiązuję to mogę za x, y, dx, dy podstawić to co jest we wzorze parametrycznym i liczyć całkę po t. No i mogę też zamienić ją na całkę podwójną wyznaczoną przez krzywą zamkniętą (uważając na skierowanie) i liczyć to paskudztwo.

A całka pierwszego rodzaju to co? Też za x,y podstawiam to co jest we wzorze, a za ds podstawiam to wyrażenie sqrt(1 + [x'(t)]^2 + [y'(t)]^2) i też liczę całkę po t? Tak to się robi?

W sumie to nie uwidziałem tego ani na ważniaku ani w Krysickim (chyba że uwidziałem ale nie zwróciłem uwagi :D )

kap00ch

dobrze uwidziales bo ni ma i wypier@#$@ ta jedynke ze wzorku z sqrt...tam nie ma 1....a ogolem calka krzywochu$@# pierwszego ch4#@ jest sztuka dla sztuki i mam ja gleboko w du$#@...

Yoter

a parametryzacja tej całej lemniskaty to nie będzie po prostu:

x = a * sqrt(2cos2t) * cost
y = a * sqrt(2cos2t) * sint

???
edit: z całki pierwszego rodzaju to się liczy masę druta :D

hansu

Fidel

Rogal