Forum Informatyka UJ forum Strona Główna Informatyka UJ forum
Rocznik 2005 - czyli najlepsze forum w sieci
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

help!

 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum Informatyka UJ forum Strona Główna -> Archiwum / 1 rok / 2 i 3 semestr - Analiza Matematyczna
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
kg86
zielony żul



Dołączył: 22 Gru 2005
Posty: 1194
Przeczytał: 0 tematów

Skąd: pochodze?

PostWysłany: Śro 23:27, 30 Sie 2006    Temat postu: help!

za niecale 2 tygodnie poprawka z anala... a ja nie mam pojecia na czym polega indukowanie topologii przez metryki :( moglby ktos to jakos zrozumiale wyjasnic? :)
Bylbym rowniez wdzieczny gdybys ktos umiescil dowod tego twierdzenia:

rownowaznosc metryk [czyli te, co indukuja ta sama topologie] jest rownowazna warunkowi:
[dla kazdego] r>0 [dla kazdego] x e X [istnieje] r1, r2 > 0 : Kd1(x,r) > Kd2(x,r1) > Kd1(x,r2)

legenda:
Kd1, Kd2 - Kula w metryce d1, d2
[kula1] > [kula2] - kula1 zawiera sie w kula2
e - nalezy do

nie wiem czy to Gasinski udowadnial na wykladzie, nie bylo mnie na tym...
z gory dzieki za pomoc :)
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
Skrobocik
[SKROBORANGA]



Dołączył: 29 Lis 2005
Posty: 2958
Przeczytał: 0 tematów

Skąd: Skarżysko , Kraków

PostWysłany: Wto 14:05, 05 Wrz 2006    Temat postu:

A to na poprawce nie mają być jakieś normalne zadanka :?: : całeczki, pochodne, granice, zbieżności i ciągłości :O :?:
Ja nie chcę żadnych twierdzeń, ani dowodów :evil:
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
Ethlinn
Szatanica



Dołączył: 13 Lis 2005
Posty: 424
Przeczytał: 0 tematów

Skąd: Katowice

PostWysłany: Wto 16:34, 05 Wrz 2006    Temat postu:

Nie wiem, czy o to Ci chodzi, ale spróbuje wyjaśnić to po swojemu ^^, a przynajmniej jak ja to rozumiem (jakbym pisała jakieś herezje to mnie poprawiajcie ^^).

[jeszcze mala legenda: e- nalzey, C- zawiera sie, Td - topologia indukowana przez metryke, Ai - A z indeksem i... reszta powinna byc jasna]

Zatem mamy jakąś przestrzeń metryczna (X, d). Jak mamy metrykę to mamy i kule. W kulach leza wszystkie punkty których odległość od środka jest mniejsza niż promień ( K(x0, r) = {x e X: d(x0, x) < r} ).

Teraz bierzemy definicje zbioru otwartego w przestrzeni metrycznej. Jeżeli każdy punkt leżący w danym zbiorze (nazwijmy go A) jest taki, ze istnieje jakaś kula o środku w tym właśnie punkcie i ta kula zawarta jest w całości w zbiorze A (czyli żaden punkt należący do tej kuli nie może leżeć poza zbiorem A) to zbiór ten jest otwarty. Czyli w pewnym sensie zbiory otwarte to takie, gdzie nie da się określić, który punkt jest „graniczny”.

No i dochodzimy teraz do topologii indukowanej przez metrykę. W wykładach jest: „Rodzina wszystkich zbiorów otwartych w X stanowi topologię w X. Nazywamy ją topologią indukowaną przez metrykę d i oznaczamy Td.” Czyli wszystkie zbiory, które spełniają warunek otwartości, czyli, ze każdemu punktowi danego zbioru jesteśmy w stanie przypisac kule (czy jak pisal Gasinski: każdy punkt zbioru „siedzi” w A wraz z pewna kula, której jest srodkiem), tworzą rodzinę. A ta rodzina jest topologią. Czyli:

1. zbior pusty należy do Td (z definicji)
X e Td (X zawiera wszystkie swoje kule)
2. x należy do iloczynu zbiorow należących do Td wtedy i tylko wtedy, gdy lezy w każdym z tych zbiorów. Zatem w każdym z tych zbiorów dany punkt „siedzi” wraz z pewna kula, której jest srodkiem. Czyli dla każdego zbioru istnieje takie r, ze K(x0, r) C A. Wystarczy wiec wziąć najmniejszy z promieni (co jest równoznaczne temu, ze kula o najmniejszym promieniu zawarta jest we wszystkich innych większych kulach). I teraz widzimy, ze każdy punkt iloczynu zbiorow ma swoja kule (jest to kula o najmniejszym promieniu). Zatem iloczyn tez należy do Td.
3. Co z suma? Wezmy dowolne x lezace w sumie zbiorow. Jeśli x lezy w sumie to istnieje pewien zbiór, w którym ten x leży. Czyli istnieje takie i e I, ze x e Ai (gdzie Ai należy do topologii). Z tego wynika, ze istnieje takie r > 0, ze K(x, r) C Ai (w koncu Ai jest w topologii, zatem jest otwartym zbiorem). Skoro wiec dany punkt siedzi w Ai z kula, to ten punkt siedzi również z ta sama kula w sumie zbiorow.

Zatem widać, ze jest to topologia. Nie wiem, czy wyjaśnione jest to dostatecznie jasno i czy o takie tłumaczenie chodziło. Inaczej nie umiem ^^. W sumie i tak wszystko jest tak jak w wykładzie.

Co do dowodu równoważności metryk, to niestety moje notatki z wykładu zostaly w Krakowie :/.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
szuwarek
pijak



Dołączył: 12 Sie 2006
Posty: 62
Przeczytał: 0 tematów

Skąd: wziac fajne repki?;P

PostWysłany: Śro 13:42, 06 Wrz 2006    Temat postu:

Ethlinn nawet jezeli bym chcail zrozumiec i tak by mi sie nie chcialo chyba tego czytac :]
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
Ethlinn
Szatanica



Dołączył: 13 Lis 2005
Posty: 424
Przeczytał: 0 tematów

Skąd: Katowice

PostWysłany: Śro 16:06, 06 Wrz 2006    Temat postu:

szuwarek napisał:
Ethlinn nawet jezeli bym chcail zrozumiec i tak by mi sie nie chcialo chyba tego czytac :]


Heh... w kazdym razie sie staralam... serio, serio :)
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
szuwarek
pijak



Dołączył: 12 Sie 2006
Posty: 62
Przeczytał: 0 tematów

Skąd: wziac fajne repki?;P

PostWysłany: Śro 17:30, 06 Wrz 2006    Temat postu:

dobre checi sie licza ;D
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
Pestka
pijak



Dołączył: 22 Mar 2006
Posty: 79
Przeczytał: 0 tematów


PostWysłany: Czw 16:48, 07 Wrz 2006    Temat postu: Re: help!

kg86 napisał:

Bylbym rowniez wdzieczny gdybys ktos umiescil dowod tego twierdzenia:

rownowaznosc metryk [czyli te, co indukuja ta sama topologie] jest rownowazna warunkowi:
[dla kazdego] r>0 [dla kazdego] x e X [istnieje] r1, r2 > 0 : Kd1(x,r) > Kd2(x,r1) > Kd1(x,r2)

A moglbys napisac dokladniej pierwsza czesc twierdzenia? tzn czy po lewej stronie ma być "metryki d1 i d2 są równoważne wtw..." czy "topologie indukowane przez metryki d1 i d2 są równoważne wtw..." I jaka była na wykładzie podana definicja tej równoważności?

aha i tak dla uscislenia:
kg86 napisał:

[kula1] > [kula2] - kula1 zawiera sie w kula2

Jesli znak > ma przypominac ksztaltem znak zawierania, to chyba powinno byc odwrotnie? kula1 zawiera w sobie kule2...?
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
Skrobocik
[SKROBORANGA]



Dołączył: 29 Lis 2005
Posty: 2958
Przeczytał: 0 tematów

Skąd: Skarżysko , Kraków

PostWysłany: Pią 12:20, 08 Wrz 2006    Temat postu:

Zadam jeszcze raz to pytanko: Czy mają być dowody na kolokwium :?:
(oby nie)
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
r4ku
żul



Dołączył: 09 Lut 2006
Posty: 722
Przeczytał: 0 tematów

Skąd: klikash? :D

PostWysłany: Pią 12:56, 08 Wrz 2006    Temat postu:

o ile dobrze pamietam, to na kolosie zaliczeniowym, tym w czerwcu, nie bylo dowodow tylko w miare proste zadanka. Ale jak teraz bedzie to chyba nawet starozytni rosjanie nie wiedza...
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
kg86
zielony żul



Dołączył: 22 Gru 2005
Posty: 1194
Przeczytał: 0 tematów

Skąd: pochodze?

PostWysłany: Pią 15:46, 08 Wrz 2006    Temat postu:

mam nadzieje, ze nie bedzie dowodow na kolokwium, ale pytalem sie o dowod tego twierdzenia, poniewaz samo twierdzenie jest dla mnie tak nie intuicyjne, ze nie moglem obczaic na czym to indukowanie topologii moze polegac...
dzieki Ethlinn :) a mozesz jeszcze dac jakis przyklad? :D tzn. jakas metryke, oraz topologie jaka indukuje i wyjasnic dlaczego taka a nie inna? :D postawie Ci piwo, nawet dwa :D

@Pestka - po lewej stronie jest: rownowaznosc metryk jest rownowazna warunkowi (...) :)
i masz racje, zrobilem blad w legendzie, powinno byc [Kula1] > [Kula2] - Kula2 zawiera sie w Kula1 :)
jest to (3) podpunkt twierdzenia 2.11 z wykladow :)

a tak btw. ma ktos jakis skrypt dotyczacy liczenia granic dwoch zmiennych? W Krysickim i Wlodarskim tego nie ma, a te kilka przykladow z cwiczen wiele mi nie mowia...
a moze komus sie chce wypisac metody? :D
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
Ethlinn
Szatanica



Dołączył: 13 Lis 2005
Posty: 424
Przeczytał: 0 tematów

Skąd: Katowice

PostWysłany: Pią 17:47, 08 Wrz 2006    Temat postu:

@kg86: Sprobuje wiec cos wymyslic, ale nie twierdze, ze jest to poprawne. Przyklad biore z glowy, wiec prosze o podejscie do tego z dystansem :). Proponuje najprostsza metryke euklidesowa (w kazdym razie najbardziej intuicyjna). Czyli kula jest normalnym okregiem. Teraz wyobrazmy sobie zbior otwarty... w szkole zaznaczalibysmy to sobie jako jakis obszar ograniczony przerywana linia, prawda? Zastanowmy sie wiec, czy pasuje to do naszej definicji zbioru otwartego. Zatem zbior otwarty to taki zbior w ktorym kazdy punkt siedzi z kula. Wiadomo, ze obszar w srodku zbioru siedzi z kulami, mozna to sobie latwo narysowac. Jedynie problem moze pojawic sie na brzegu, czyli punkty tuz przy linii. Wiemy, ze to co do tej przerywanej linii nalezy nie jest juz w zbiorze. Punkty jakby zmierzaja do owej "granicy". Ale wiemy, ze jest ich tyle ile liczb rzeczywistych (heh... nie ma to jak WDM :P). Zatem jesli wezmiemy jakis punkcik to zawsze uda nam sie znalezc jakis ktory bedzie jeszczez blizej tej granicy... i teraz jesli wezmiemy rodzine takich wlasnie zbiorow to spokojnie mozemy powiedziec, ze to topologia. Cala przestrzen R^2 nalezy, pusty nalezy, Suma i iloczyn tez okej- to bardzo intuicyjne, ale wystarczy to sobie rozrysowac lub wyobrazic. Mam nadzieje, ze przyklad jest okej :).

A co do ewentualnego piwa, to ja moze podziekuje [dobrze wiesz, ze piwa nie pijam! :P] W kazdym razie am nadzieje, ze cos pomoglam i za bardzo nie namieszalam. :)
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
Pestka
pijak



Dołączył: 22 Mar 2006
Posty: 79
Przeczytał: 0 tematów


PostWysłany: Pią 18:53, 08 Wrz 2006    Temat postu:

Inny przykład: weźmy metrykę dyskretną (tzn. d(x,x)=0 oraz (x,y)=1 dla x!=y ) Ona indukuje topologię, w której wszystkie zbiory są otwarte - jaki byś sobie zbiór nie wymyślił to będzie otwarty - no bo z każdym punktem da się związać jakąś kulę zawartą w tym zbiorze (wystarczy wziąć promień <1 - taka kula jest wtedy poprostu singletonem :) ). To zdaje się nazywa się topologia banalna :)

Z twierdzeniem nadal mam problem, bo nie chodziłam na analize do dra Gasińskiego więc nie posiadam jego wykładów :)

Jesli chodzi o granice fcji wielu zmiennych to zdaje się że są w drugiej części podręcznika :) A jeśli chodzi o metody liczenia - nie jestem ekspertem (w ogóle to taki niemiły temat ;) ), ale można próbować np. tak:

1) Jeśli chcemy pokazać, że granica nie istnieje (co jest z reguły dużo łatwiejsze niż pokazanie że istnieje i jaka niestety) to staramy się wskazać przynajmniej dwa podciągi, które mają różne granice - albo jeden niezbieżny, np:
(x^2-y^2)/(x^2+y^2) przy(x,y)->(0,0)
badamy dla ciągu (1/n, 1/n) przy n->nieskończoności (albo jak ktoś woli na prostej x=y)
wówczas nasza funkcja ma postać 0/(2/n^2) i w oczycisty sposób granicą takiego ciągu jest 0.
natomiast np. dla ciągu (0,1/n) (albo na prostej x=0) dostajemy równanie
(-1/n^2) / (1/n^2) co daje nam granicę -1 .
-1 != 0 zatem nasza funkcja nie ma granicy w (0,0)

1a) jeśli ciężko nam badać funkcję zadaną we współrzędnych kartezjańskich, możemy spróbować zameinić je na współrzędne biegunowe(tzn współrzędne biegunowe stosujemy jeżeli mamy liczyć granicę w (0,0) - inaczej trzebaby było użyć współrzędnych biegunowych przesuniętych o odpowiedni wektor). Wówczas będziemy sprawdzali, czy granice są takie same na wszystkich okręgach o środku w punkcie w którym szukamy granicy, tzn czy dla dowolnego kąta alfa i dla dowolnie wybranego promienia r granice wszystkich ciągów są takie same (czyli tak jak w punkcie 1) aby pokazać ze granica nie istnieje szukamy odpowiedniego przykładu, tylko tym razem dla pary (alfa, r), gdzie r->0)
W tym przypadku czasami łatwo pokazać że ciąg jest zbieżny, gdzyż alfa często występuje przy funkcjach sin i cos które są ograniczone i pomnożone przez dążącą do zera funkcję zależną od r dają granicę 0.

2) można próbować oszacować granicę albo jej moduł, np:
f(x,y)=(x^2*y)/(x^2+y^2).liczymy granicę przy (x,y)->(0,0)
mamy:
0<= |f(x,y)| = |x^2*y |/|x^2+y^2|<=(|x^2|*|y|)/|x^2|{zmniejszyliśmy mianownik, bo y^2>=0 zawsze} =|y|->0 {bo y->0}
zatem z tw o trzech ciągach dostajemy, że |f|->0 <=> f->0.

3)... zgadnąć??

Mam nadzieję że da się z tego coś zrozumieć... :)
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum Informatyka UJ forum Strona Główna -> Archiwum / 1 rok / 2 i 3 semestr - Analiza Matematyczna Wszystkie czasy w strefie EET (Europa)
Strona 1 z 1

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin